TURUNAN SUATU FUNGSI
Kalkulus (bahasa latin : calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit,turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Contoh cabang kalkulus yang lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi danlimit, yang secara umum dinamakan analisis matematika
Limit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kurva. Selain itu, limit juga digunakan untuk mendefinisikan salah satu operasi yang fundamental pada kalkulus, yaituturunan.
Definisi Turunan Suatu FungsiTurunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai
apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah fungsi terhadap x.
Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di titik (c, f(c)).
Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu fungsiterturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka (a, b)jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.
Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari y = f(x). Notasi yang sering digunakan adalah
Notasi dy/dx dibaca “turunan y terhadap x” atau “dy, dx”. Dengan menggunakan notasi limit, kita dapat menuliskan
Contoh 1: Menemukan Turunan dengan Proses Limit
Tentukan turunan dari f(x) = 2x3 – 3x.
Pembahasan
Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi, yang dapat digunakan untuk menentukan gradien garis singgung grafik f di titik (c, f(c)).
Tips: Ketika menggunakan definisi untuk menurunkan fungsi, kuncinya adalah memanipulasi persamaan sebelah kanan sehingga penyebutnya tidak memiliki faktor Δx.
Contoh 2: Menggunakan Turunan untuk Menentukan Gradien di Suatu Titik
Tentukan f ’(x) untuk f(x) = √x. Kemudian tentukan gradien grafik pada titik (1, 1) dan (4, 2). Jelaskan perilaku f di titik (0, 0).
Pembahasan
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah merasionalkan pembilang.
Pada titik (1, 1), gradiennya adalah f ’(1) = 1/2. Pada titik (4, 2), gradiennya adalah f ’(4) = 1/4. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada titik (0, 0), gradiennya tidak terdefinisi. Akan tetapi, grafik f memiliki garis singgung berupa garis vertikal pada titik (0, 0).
Di beberapa kasus, penggunaan variabel x bisa digantikan oleh variabel lainnya. Hal ini seperti yang ditunjukkan oleh contoh 3 berikut.
Contoh 3: Menentukan Turunan dari Suatu Fungsi
Tentukan turunan terhadap t dari fungsi y = 7/t.
Pembahasan
Misalkan y = f(t), kita mendapatkan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar